Nombres de Fermat

Énoncé

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , on note \(F_n=2^{2^n}+1\) . La suite \((F_n)\) est appelée suite des nombres de Fermat.

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite \((F_n)\) , et vérifier qu'ils sont tous premiers.

2. Vérifier que \(F_5\) est divisible par 641.

3. Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) , pour tous \(p\) , \(q \in \mathbb{N}\) , on a
\(\begin{align*}x^{pq}-(-1)^p=(x^q+1)\sum\limits_{k=0}^{p-1}(x^q)^k(-1)^{p-1-k}\end{align*}\) .

4. Soit \(m \in \mathbb{N}\) . Montrer que, si \(2^m+1\) est premier, alors \(m\) est une puissance de \(2\) .
On pourra raisonner par contraposée, en supposant que \(m\) n'est pas une puissance de \(2\) , c'est-à-dire que \(m=pq\) avec \(p>1\) impair et \(q \in \mathbb{N}\) .

5. La réciproque est-elle vraie ?