Nombres de Fermat

Énoncé

Pour tout $n\in \mathbb{N}$ , on note $F_n=2^{2^n}+1$ . La suite $(F_n)$ est appelée suite des nombres de Fermat.

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite $(F_n)$ , et vérifier qu'ils sont tous premiers.

2. Vérifier que $F_5$ est divisible par 641.

3. Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R}$ , pour tous $p$ , $q\in \mathbb{N}$ , on a
$\begin{array}{r}{x}^{pq}-(-1{)}^p=(x^q+1)\sum _{k=0}^{p-1}(x^q{)}^k(-1{)}^{p-1-k}\end{array}$ .

4. Soit $m\in \mathbb{N}$ . Montrer que, si $2^m+1$ est premier, alors $m$ est une puissance de $2$ .
On pourra raisonner par contraposée, en supposant que $m$ n'est pas une puissance de $2$ , c'est-à-dire que $m=pq$ avec $p>1$ impair et $q\in \mathbb{N}$ .

5. La réciproque est-elle vraie ?